球磨机（一）

    一、钢球直径的半理论公式推导
    现有的球径经验公式局限性较大，误差也大，有的在我国使用还不太方便。故有必要寻找一个适合我国国情的球径公式。前已述及，目前不可能产生纯理论公式，但寻找一个理论公式的框架并用一些经验参数填充的半理论公式是完全有可能的。现代岩矿破碎中借助工程测量可得知岩矿的抗破坏性能，也就是说，多大的矿块或矿粒需要多大的打击破坏力是可以计算出来的。目前，对球磨机中抛落状态下钢球的运动学是研究得比较透彻的，多大的钢球落下时具有多大的能量是可以计算出来的。因此，由岩矿块破碎所需要的破坏力来选择钢球尺寸在理论上是可行的，而且是科学的。下面详细介绍如何根据岩矿抗破坏性能来选择钢球尺寸的方法，即具体推导钢球直径的半理论公式。
    和其它理论公式的推导一样，钢球的理论公式推导不能不作一些允许的假设：①由于钢球作抛落运动的力学研究比较透彻，且戴维斯和列文松等人的理论能提供系统的计算钢球运动的数学方法,所以取抛落运动下的钢球来研究；②为了计算上的方便，取被破碎的矿块或矿粒为球形,即以一个直径d来表示矿块或矿粒的大小；③岩矿均具有一定脆性,在冲击作用下矿块的破坏为脆性破坏，即应力与应变成正比；④矿块或矿粒受压或受冲击时呈单轴应力状态,即形成的破裂面与压力方向平行且过球心；⑤岩矿的力学性质视作均匀,可按强度极限和受力面积计算所需破坏力；⑥钢球破碎矿块时属动载荷特征，矿块抗动载荷的能力比抗静载荷的能力低。抗压极限强度σ_压(静载荷)易测，且现厂一般有此资料,抗冲击极限强度印冲(动载荷)现厂往往无资料。根据大量实践测定资料,σ_压一般为σ_冲的10倍以上,就假定,即以抗压极限强度σ_压作为计算依据，用σ_压即可转换得σ_冲。另外，和其它传统的磨矿理论研究一样，从球荷中取出一个钢球作为代表来进行研究，同时，由于钢球下落的速度相同，可以不考虑钢球之间的相互作用。上述假设是否合理,可通过实践检验推导出的理论和半理论公式是否符合实际而得到证明。
   （一）矿块或矿粒的抗破坏能量E_抗
    矿块或矿粒是破碎的对象，它们抵抗破坏的能力是选择破碎力的依据。显然，它们抵抗破坏的能力与自身的力学强度有关，也与矿块或矿粒的几何尺寸有关。在这里，用岩矿的抗压极限强度σ_压来表示岩矿的力学强度。因为选矿界常用普氏硬度系数 来表示岩矿的强度等级，且 。由于矿块或矿粒的破坏与自身的几何尺寸有关，矿块或矿粒愈大需要的绝对破坏力也愈大；反之，小矿块或矿粒需要的绝对破坏力小。几何尺寸用球形矿粒的直径d来表示。
    在抛落运动状态磨矿中，钢球对矿块或矿粒的破碎以冲击作用为主，磨剥作用为辅。因此，矿块或矿粒遭受的是冲击破坏，这就必须用矿块或矿粒的抗冲击能力来表示它们的抗破坏性能。按前面的假定,矿块或矿粒的抗冲击强度只是抗压强度的十分之一，即：

                                       直径为d的球形矿块或矿粒，只要是通过球心的截面，其截面面积均为：     按前面的假定,矿块或矿粒的破坏面积应是,那么,这个直径为d的矿块或矿粒能具有的抗冲击破坏力F_抗为：
F_抗=抗冲击强度σ_冲×破坏面积[next]
     根据P.A.罗金PoдиH提出的粉碎假说,可以按下面办法计算破碎功：破碎直径力d的矿块或矿粒,即相当于数值上等于F_抗的力要作用d的距离才能使矿块或矿粒破坏分离开来，也就是说需要的破碎功为：      破坏矿块时，所需的破碎功应等于或大于矿块的抗破坏能量，因此，矿块或矿粒的抗破坏能量E抗应为：      如果钢球落下时具有打击动能大于矿块或矿粒的抗破坏能量，矿块或矿粒的破碎行为即会发生。
    在推导过程中，为了计算上的方便，采用厘米•克•秒制量纲，计算的结果在生产上应用也较为方便。
   （二）钢球的打击动能E_n
    下图中表示抛落运动状态下钢球的运动轨迹。钢球从落回点B随筒体一起作圆运动上升至脱离点A，然后从A点作抛落运动落回到点B，完成一个运动周期。 
图中  钢球落下时的速度分析    选取直径为D_b(cm)、体积为V(cm³)的一个钢球来研究。钢球下落时落入矿浆中，受矿浆浮力的缓冲作用,因此,起作用的不是钢球的重量，而应该是钢球的有效重量C_eO钢球的有效质量m_e为：    式中  ρ_e —钢球在矿浆中的有效密度。
    将 以代入式（6）得：     钢球落到落回点B时,其速度υ_p分解为从磨机中心到落回点B方向的法向分速度υ_n与筒体圆周相切的切向速度υ_t。速度υ_n于冲击矿块，切向速度υ_tO沿筒壁切线方向对矿块或矿粒产生磨剥作用。这里主要考虑钢球对矿块的冲击作用,故未考虑υ_t。
    根据戴维斯及列文松等人的理论，υ_n为:
   又因为 ，将υ代入式（8）得     式中  R₁ —磨机的内半径。[next]
    于是，具有有效质量m_e,法向速度υ_n的钢球落回点时具有的法向动能E_n为：     又因D=2R₁，故上式为：     又因D=2R₁，故上式为：     前面考虑的是处于R₁位置的最外层球上的钢球。但最外层球工作有利并不意味整个球荷工作都有利。现假设全部球荷质量集中在某一层球上,这层球称“中间缩聚层”，此层球的琺层直径为D₀。根据扇形对O点的极转动惯量半径的求法可得：     式中  R₁、R₂ ——最外层和最内层球的球层半径。，k与转速率Φ和装球率φ有关，k可直接由表1中查取。又D₀=2R₀，则“中间缩聚层”上的一个球落到落回点衬板上的法向冲击动能E_n为： 表1  各种装球率φ及转速率Φ时参数k之值

Φ/%Φ/%	65	70	75	80	85	90	95	100
3035404550	0.527————	0.6350.5110.237——	0.7000.6180.5080.288—	0.7460.6830.6060.5060.332	0.7770.7260.6690.6000.508	0.8020.7590.7110.6560.592	0.8190.7810.7400.6940.644	0.8310.7970.7610.7210.676

    (三)钢球直径的半理论公工与经验修正
    公式（5）是粒度为d的矿块抵抗破坏的能量，公式（12）则是直径为Db的钢球打击矿块时所具有的动能。从岩矿的破碎原理分析，当球的打击能量大于矿块抵抗破坏的能量时，即En≥E抗时，矿块发生破碎，也即是：      对上式整理，找出目标函数D_b(cm)与其它参数之间的数学关系为：    由钢球运动理论可知，若cosa=Φ²,则sin²a=1-cos²a=1-Φ⁴,sin2acosa=Φ²-Φ⁶,式(13)经进一步简化,得：     公式(14)是钢球作抛落运动时导出的,球作泻落式运动时力学还无法计算。泻落式时球上升高度不高,用式(14)算出的结果还应适当加大。加之,前面推导公式时并未考虑钢球的切向速度V_t，的破碎作用。如果把V_t的作用考虑在内,上式计算的球径应考虑加大15%这里按极限状态考虑，式（14）变为：      这个公式是在破碎力学原理的基础上用系统而严密的戴维斯和列文松钢球运动理论推导出来的,它反映了钢球直径与磨机转速率Φ钢球有效密度ρ_e磨机直径D(D₀与D直接有关、D₀还与装球率φ有关)、岩矿抗σ_压极限强度σ_压和给矿粒度d之间的关系。是目前所见球径公式中考虑因素最多的公式之一。从公式中可以看出,给矿粒度d大和岩矿抗压极限强度大时需要大的球径；磨机直径D小时也需要大的球径；钢球有效密度ρ_e小时(即矿浆太浓,浮力过大,对球的缓冲作用大)也需要大的球径，故该公式反映了钢球破碎过程中的客观规律。而转速率对钢球直径的影响较复杂,难于直接看出，计算后才能看出。但当Φ=100%时，公式算出，表示此时钢球直径无意义,因为此时球已离心化而无破碎作用存在了。[next]
    此公式的结构框架是直接由理论推导出来的，但其中包括岩矿的抗压极限强度σ_压，e_压不能由理论计算出来，只能借助实际工程测量得到，而且，在考虑泻落式运动时球径已作了经验性放大，因此，此公式只能算为半理论公式。此公式若要实际运用，还应对推导未考虑或假定中不符合实际的地方进行一些修正。
    公式(15)在推导中抓住了几个主要因素,但也有一些因素未考虑。另外,为了推导公式方便而假定岩矿的力学性质是均匀的,但实际上岩矿的力学性质极不均匀。而且这些因素对球径的影响是很大的，只是它们难于定量地进入公式。如不考虑这些因素的影响，公式（15）也将产生大的误差，甚至使公式无使用价值。事实上，以前各国学者提出的各个球径公式中也均带有经验修正系数。对于这类复杂的工程技术问题,不经过经验修正的纯理论公式是没有实用价值的,因为简单的数学式子不可能把磨矿过程的影响因素都包括进去的。现对公式(15)进行如下三个方面的修正：
    （1）岩石力学性质的不均匀性修正,粗矿块内部宏观和微观裂纹多m故强度低。而当矿块变细后各种裂纹逐渐消失,强度逐渐增大。原苏联学者曾对不同粒度的矿块作过破坏强度测定研究，测定资料见表(2)。但当矿粒度小于1mm尚未见到测定资料。芬兰胡基教授曾作过不同粒度下的磨碎功耗测定,结果说明粒度变细与功耗的增加不是直线的比例关系。而呈类似幂函数的曲线关系增长,表明细磨时功耗增加比粒度变小快得多。参照胡基的研究和笔者进行的细磨研究,在表2中补充了1mm 以下的破坏力数值和修正系数。
    国外学者从F.C.榜德理论推导出球磨机的给矿粒度为1/2in(即12.7mm)时碎磨的能耗最低。按欧美技术习惯,80% 过筛粒度为12.7mm时，相当于95% 过筛粒度的15mm。由于公式推导是在理想情况下进行的,可以认为求出的最佳球径是在能耗最低的情况下得到的。故以15mm为基准，小于15mm时矿块力学强度增大，大于15mm时矿块力学强度降低。若以K₁表示岩矿力学性质不均匀的修正系数，并以15mm基准，定为1，则粒度大于15mm者K₁小于1,小于15mm者K₁大于1，按各粒级破坏力计算出K₁分别列入表2中。表2  各种粒度下岩矿块破坏强度与力学不均匀修正系数K₁值的关系

粒度d/mm	50	40	30	25	20	15	12	10
抗破坏强度/MPa	73.85	77.43	82.11	83.13	86.19	89.15	92.13	94.35
K1	0.83	0.87	0.92	0.93	0.97	1.00	1.04	1.06
粒度d/cm	5	3	2	1.2	1.0	0.6	0.3	0.15
抗破坏强度/MPa	99.86	108.53	116.79	131.07	134.64	141.78	157.08	178.50
K1	1.12	1.22	1.31	1.47	1.51	1.59	1.76	2.00

    （2）磨矿过程有效控制修正。磨矿过程中，粗磨和细磨的情况差异较大。粗磨时钢球既容易打着矿粒,球荷之间也容易啮住矿粒进行研磨，故磨碎的概率高，磨矿作用效率高,能量浪费小,即磨矿过程易于有效控制。细磨过程却不然,钢球打击矿粒和球荷间啮住矿粒均比较困难，磨碎的概率低，磨矿过程不太好控制,磨碎作用效率低，能量浪费大。
    仍以能量消耗最低的15mm为基准，并以K₂表示磨矿过程控制修正系数，大于15mm者K₂＜1，小于15mm者K₂＞1。由于目前还无法在此方面提出定量的修正依据，只有假设K₂的影响与K₁等同。
    （3）矿浆粘度等因素的影响修正。粗磨时一定的矿浆粘度对磨矿是有利的,矿粒易粘附在钢球和衬板上形成一层矿粒层，当钢球与钢球或与衬板相碰撞时就能首先破碎矿粒,磨碎过程有效,能耗也就较低。细磨时粘度大则会产生有害影响，使能耗增大。如以K₃表示这方面的影响修正，但目前也难提出定量修正依据，仍仿K₂的处理办法,假定同一粒度下K₃的影响同K₁。
    于是，设综合经验修正系数为K_C，按前面的假设得：
     K₂和K₃的假设是否合理，应以最终结果是否符合实际来进行检验。
    这样，球径半理论公式经修正后D_b（cm）成为：
    公式（17）即为最终推导出的球径半理论公式。式中的综合修正系数K_C可按表3中数据选取。
    式中Φ —磨机转速率，；
        σ_压 —岩矿抗压极限强度，㎏/cm², σ_压=100f ,
        f—岩矿普氏硬度系数；
        ρ_e—钢球在矿浆中的有效密度，g/cm³;                                ρ_e=ρ-ρ_n
        ρ—钢球密度，g/cm³;
        ρ_n—矿浆密度，g/cm³;
        ρ_t —矿石密度，g/cm³;
        R_d —矿浆重量浓度（小数）；
        D₀—球荷“中间缩聚层”直径，D₀=2R₀，R₀由公式（11）及表1确定；
        d—磨机给矿95%过筛粒度，cm。
    这样,在实际给定的磨机工作条件下就可以按公式(17)计算所需要的钢球直径。公式计算时采用cm•g•s制量纲。表3  综合经验值正系数K_C值

粒度d/mm	50	40	30	25	20	15	12	10
KC	0.57	0.66	0.78	0.81	0.91	1.00	1.12	1.19
粒度d/mm	5	3	2	1.2	1.0	0.6	0.3	0.15
KC	1.41	1.82	2.25	3.18	3.44	4.02	5.46	8.00