钢球的运动轨迹和转速率与装球率的关系

    抛落式工作的磨机磨细矿石的效果，决定于它的转速率，装球率和二者的关系,显然这些都是与钢球的运动有关。为了解决这些问题，必须从分析钢球的运动入手,在明确它们的运动轨迹的基础上,逐步阐述怎样正确地选择转速率和装球率。    一、圆运动方程式和抛物线运动方程式    如下图(1)，以脱离点A为原点，取xAy坐标，则圆心在磨机中心O点及半径为R的圆的方程式为(X-Rsina)²+(y+Rcosa)²=R^{2                                    ( 1 )}        球从A点以磨机运转时的线速度υ抛出，根据抛物落下的情形，水平距离(x)和垂直距离(y)分别为

图1  球的圆运动轨迹和抛物线运动轨迹    将t值代入，得到    可得知，工式：    这就是在xAy中的球作抛物落下的抛物线方程式。    二、抛物线上各特殊点的坐标    为了使抛物线能够准确地画出，必须确定它的最高点C、它与x轴的交点D和落回点B等的坐标。    确定C点的坐标：因 ，故将公式(2)取一次导数并令它等于零，可以找出C点的坐标x_c和y_c。 

    将x_c的值代入公式(2)中，求得

      确定D点的坐标：因为D点是抛物线与x轴的交点，所以[next]yD=0                                            ( 5 )     由公式(2)可以得到

    确定B点的坐标：B点是钢球抛落的终点，也是它开始圆运动之点,所以它的坐标x_B和y_B即公式(1)和(2)联立时的公解。将公式(2)中的y代入公式(1)中，然后逐步化简，得到   

    中，它的三个根x₁=x₂=x₃=0,即两轨这相交的坐标原点A。在    中，第四个根即落回点B的x坐标，即 x_B=4Rsinacos²a                                     (  7 )     将x_B的值代入公式(2)，求得 ya=-4Rsin²acosa                                    ( 8 )     将公式(7)和(6)比较，可以看出x_B=2x_D    将公式(7)及(8)和公式(3)及(4)比较，可以看出    在已知脱离角a的情况下，可以根据以上各式算出各特殊点的坐标，坐作抛落下运动时的抛物线即能准确地画出。    如果要用到以O为原点的XOY系来表示落回点B的坐标，根据移轴规则（新坐标等于旧坐标减新原点的旧坐标），将公式(7)和(8)改写成    而落回角（β、钢球中心与磨机中心的连线和X轴的夹角）可以求出为     有的研究者如高伍（Gow）认为，每一个球到达脱离点之前，都受到它后面的球上升时的推力。因此上升得较脱离点高，抛物落下也较戴维斯理论算出的远。虽高伍根据这种方法提出了另外的计算公式,但尚未获公认,而戴维斯理论与实际资料仍然大致符合。