式中 G—颗粒在介质中受到的重力，N； d —颗粒的直径或粒度，m; δ和ρ—相应为颗粒和介质的密度，kg/m3； m —颗粒的质量，kg; g —重力加速度，m/s2 g0 —颗粒在介质中的重力加速度 球形颗粒沉降时受到的介质阻力R为： 式中 R —介质阻力，N； Φ —阻力系数，无因次； υ —介质的粘度或动力粘度，Pa·s。 公式（3）称为介质阻力通式，但由公式（4）先求出Φ值，才能解出R。 里莱（L.Rayleigh）用试验法作出的Φ= 由线如图1所示。用此曲线，先按公式（5）算出Re值，再在图上找到与其对应的Φ值，代入公式（3）中，就可求出介阻力R。图1 球形颗粒的Φ-Re关系曲线 因整个曲线的方程式尚不够完善，实用上，多把曲线划分为4~5个区段来求Φ和R。于是，产生了另一类适用于各Re区段的介质阻力R公式（见表1）。 球形颗粒在介质中从静止开始自由沉降时，初期作加速度下沉，至重力G与介质阻力R相平衡时,颗粒以匀速一直往下沉降,此时的速度称为自由沉降末速度υ0。其可以按公式(1)和表1中的阻力公式，在G=R时求出，结果列于表1中。[next]表1 适于各Re范围的介质阻力公式
| 流 态 | Φ 值 | 介质阻力公式 | 备 注 |
| 层流 过滤态 过渡态 过渡态 紊流 | 斯托克斯阻力公式 阿兰阻力公式 牛顿阻力公式 |
公式(6)的误差最大不超过±13%，公式(7)不超过9%，公式(8)的误差则较大述二式小些，但计算较复杂。 B 矿粒 矿粒的形状是多种多样的，衡量矿粒的形状,除根据外形作粗略估计外,常用与矿粒同体积球体的表面积A0与矿粒表面积Am之比值来表示，称之为矿粒的球形系数ω，即[next] 某些形状颗粒的球形系数见表3。表3 矿粒的球形系数| 矿粒形状 | 球形 | 浑圆形 | 多角形 | 长方形 | 扁平形 |
| 球形系数ω | 1.0 | 1~0.8 | 0.8~0.65 | 0.65~0.5 | ＜0.5 |
式中 dV —矿粒的体积当量直径，m； V —矿粒的体积，m3。 另一种表示方法是用与矿粒等表面积的球体之直径表示，即
式中 dA —矿粒的表面积当量直径，m; A —矿粒的表面积，m2 实用上,矿粒的粒度常用筛析、水析和显微镜法来测定。但这几种方法测出的粒度上述的dV和dA，相互之间很难作出精确的换算。 矿粒在介质中受到的重力G写为： 矿粒在介质中沉降时受到的介质阴力，因受形状和运动时取向变化的影响，过程中是变化不定的。故所讨论的介质阻力以平均值计。 介质阻力也可通过作出 曲线来求出。但矿粒形状不规则，只能采用有代表性的几种形状矿粒,或者用规则形状的颗粒来进行沉降试验，作出曲线。 图2是希尔列尔等人绘出的球体、六八面体、八面体、立方形、四面体和圆盘形颗粒的ΦA=f(ReA)曲线。其中， 式中 dA —颗粒的表面积当量直径； ΦA和ReA—以dA表示颗粒粒度时的阻力系数和雷诺数。图2 规则形状颗粒的ΦA —ReA曲线1.球形；2.六八面体；3.八面体；4.立方形；5.四面体；6.圆盘形 根据图2和公式（15）和（16），可按前面球球颗粒的方法，求出各规则形状颗粒在介质中沉降时受到的平均介质阻力R。 各规则形状颗粒在介质中自由沉降的平均末速度υom,可根据在图2基础上作出的Re2AØA=f(ReA) 曲线(见图3),用图解法求出。其法为：[next] (1)按下式先算出Re2AØA值 (2)在相应形状的曲线上找到对应此 值的ReA值； (3)按下式算出颗粒自由沉降的平均末速度υom:Uom=µReA/dAQ 各种形状颗粒的自由沉降平均末速度υom也可用下述公式计算：图3 规则形状颗粒的 关系曲线1.球形；2.六八面体；3.八面体；4.立方形；5.四面体；6.圆盘形 层流时 紊流时 式中 pS和PN —形状修正系数，见表3-4-4，或按下式计算， 式中 υom —颗粒自由沉降的平均末速度，m/s; υ0 —与颗粒同体积球体自由沉降的末速度，m/s; P —形状修正系数，见表5。 对于矿粒，应用上述公式计算，因形状不规则，选用形状修正系数和球形系数，难于做到准确，计算值常存在误差。表6列出一些学者用矿粒在水中实测出来的平均自由沉降末速度，供参考。 ①由八个正六角形和六个正四方形组成； ②a为颗粒最小棱边长度； ③h为圆柱体高度，d为圆柱底直径。表5 各种形状颗粒的形状修正系数ρ| Re | Re2Φ | 颗粒形状 | ||||
| 球形 | 浑圆形 | 多角形 | 长方形 | 扁平形 | ||
| 1701903305307501100 | 8000100002000050000100000200000 | 111111 | 0.8050.8000.7900.7550.7530.740 | 0.6800.6780.6720.6500.6470.635 | 0.6100.5950.5900.5640.5620.560 | 0.4500.4410.4330.4200.4080.292 |
| 煤δ=1.35g/cm3 | 石英δ=2.65g/cm3 | 锡石δ=6.92g/cm3 | 方铅矿δ=7.65g/cm3 | 金粒δ=17g/cm3 | |||||
| d | υ0 | d | υ0 | d | υ0 | d | υ0 | d | υ0 |
| 23.117.215.612.411.89.17.65.34.43.63.31.5 0.950.79 0.420.320.270.230.18 0.13 0.090.07 0.05 | 21.019.418.517.916.314.913.411.08.98.75.64.5 3.22.6 1.531.150.950.830.74 0.35 0.210.14 0.11 | 25.214.211.910.38.76.45.54.54.23.52.31.61.41.21.00.910.760.630.510.410.320.230.200.180.160.120.100.0910.0750.0630.0480.0380.0280.0210.0160.0130.0090.006 | 60.049.039.336.134.028.926.024.022.520.916.712.711.810.610.08.47.76.85.34.13.22.92.42.11.71.21.00.60.350.250.150.110.060.0310.0190.0130.0110.009 | 12.410.59.17.25.34.63.63.12.72.41.91.61.41.2 0.950.740.570.490.410.340.270.230.190.160.12 0.090.070.060.050.0440.0280.020 0.0120.008 0.004 | 77.869.567.064.251.848.342.739.735.734.029.826.624.522.5 19.416.714.412.411.69.56.96.05.14.02.8 2.061.821.231.040.560.250.13 0.0660.030 01.014 | 11.910.38.77.36.45.54.64.23.52.41.61.41.21.0 0.910.760.630.510.410.320.280.210.160.130.11 0.0740.0720.0600.0480.0390.0280.0210.0160.0110.0080.0060.004 | 93.486.581.072.968.063.155.853.851.342.033.129.527.025.3 22.820.819.316.012.611.110.38.97.56.35.26 3.702.631.851.100.550.330.160.0960.0400.0280.0200.014 | 10.0 5.0 2.0 1.0 0.7 0.5 0.3 0.2—0.150.10 0.05 0.02 0.01 0.005 | 227 155 114 62 45.2 33.0 20.0 15.0—10.56.6 1.3 0.34 0.081 0.035 |
式中 υ0 —颗粒在静止介质中自由沉降的末速度； ua —上升介质流速度。 当υ0＞ua时 ，υa为正值，颗粒向下沉降；在υ0＞ua时，颗粒向上运动；在υ0=ua时υ0=0，颗粒呈悬浮状态。 在旋转运动的介质流中，处于其中的矿粒要受到离心力C的作用，其值为： 式中 C —离心力，N； ω —颗粒随介质作回转运动的角速度，rad/s; r —颗粒的回转半径，m; υt —颗粒回转的切线速度，m/s. 在离心力作用下,颗粒将沿着离心力方向运动,此时,颗粒要受到介质阻力。当离力与介质阻力相平衡时,颗粒将以匀速一直沿着离力方向沉降。若在回转半径方向上，介质绕颗粒作层流运动，或Re≤0.5,则离心沉降速度υC为： 如介质绕颗粒流过为其它流态,或Re＞0.5,可用表1中相应的介质阻力R,在R=C时,导出各情况下的离心沉降速度。
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